一、文献综述
（一）国内外研究现状
在信号处理领域, 人们一直对信号的 “简单性”描述高度重视。图像去噪一直是图像处理领域的一个重要研究课题。传统的去噪方法，如小波类方法，根据图像频谱分布规律，从频率上将图像中的有用信息与噪声分开[1]。由于图像也常常包含高频信息，这类方法容易丢失图像细节。
图像去噪算法的研究己经进行了多年，根据描述图像方法的不同，这些算法大致可以分为空间域滤波，变换域滤波，基于稀疏表示的图像去噪。空间域滤波分为局部滤波和非局部滤波，它主要根据图像块或像素块之间的相似度进行滤波[2]。而变换域滤波和稀疏表示去噪都是通过将图像信号变换到其它域，它们之间的区别在于变换域滤波采用固定的基函数对图像进行表示，而基于稀疏表示的图像去噪则采用冗余字典进行图像表示。空间域滤波法通过利用自然图像中的相互关系，对于一个像素块，空间域滤波法会选取候选块集合对它进行表示。根据候选块选取的方式，空间域滤波法可以分为局部空间域滤波和非局部空间域滤波。局部空间域滤波选取的候选块主要集中在目标像素块附近，它收到空间距离的限制。常见的局部空间滤波器有高斯滤波器，维纳滤波器，最小均方误差滤波器等。局部空间域滤波法运行时间短，但是当噪声强度达到一定水平时，算法去噪性效果减弱。而非局部滤波法充分利用非局部自然图像的自相似性进行滤波。非局部平均算法(None-local Means，简称为NLM ) 对同一幅图中的其他所有像素块进行加权平均，取得了不错的的效果，但是它的主要缺点是使图像容易失真。变换域滤波主要采用正交基对图像信号进行表示，常用的正交基有小波(Wavelet)，曲波(Curvelet)，轮廓波(Contourlet)等。在对图像信号进行表示之后，其中相关系数较小的那一部分通常与图像的高频信号和噪声信号相关，通过调整这些相关系数达到抑制噪声的目的。由于小波系数的稀疏性和多分辨率性，基于小波变换的去噪法性能一般都优于空间域滤波算法。目前，去噪性能最好的算法之一正是来自变换域去噪领域的三维块匹配滤波法(Block-matching and 3D filtering，简称为BM3D )算法。然而，变换域滤波法采用的固定基底无法适应复杂的自然图像信号，因此灵活性较差[15]。
近年来，稀疏逼近的新信号表示方法成为信号表征的研究热点。基于冗余原子库(或字典)的图像稀疏表示能够同时满足稀疏性和信号噪声可分性， 被成功地运用到了图像去噪中，形成一类基于稀疏表示的去噪方法，简称为稀疏去噪方法[3]。以信号的稀疏性先验求解图像反问题引起了学者们的广泛关注，尤其是压缩感知 (Compressive sensing， CS) 领域。根据 Donoho 和 Candes 等的理论，信号在字典下的表示系数越稀疏则重构质量越高， 因此字典的选择十分重要，它决定了图像反问题的求解质量[4]。目前， 字典构造方法一般分为两种：方法和学习方法。基于解析方法构造的字典通过事先定义好的某种数学变换或调和分析方法来构造，字典中的每个原子可用数学函数或少量的参数来刻画，如离散余弦变换、小波变换、双树复数小波变换、轮廓波变换、Shearlet、Grouplet以及参数化字典等。方法虽然构造相对简单，计算复杂度低，但原子的基本形状固定，原子的形态不够丰富，不能与图像本身的复杂结构最佳匹配，即非最优表示。近年来人们开始根据数据或信号本身来学习过完备字典，这类字典中的原子与训练集中的信号本身相适应[5]。基于解析方法的字典相比，过学习获得的字典原子数量更多，形态更丰富，能更好地与信号或图像本身的结构匹配，有更稀疏的表示。稀疏与冗余表示理论及其在信号与图像处理中的应用成为了近年来国内外研究学者重要的研究方向，它在信号处理中的稀疏搜索方法、图像锐化字典的构造、人脸图像的压缩、图像去噪、修补以及图像尺度放大等研究领域得到了广泛的应用。尽管在该研究领域获得了一定的成就，但目前稀疏与冗余表示理论还不够成熟，给进一步研究带来了一定的困难，需要进一步的探讨，建立灵活、高效、鲁棒性更强的稀疏表示模型，研究快速的图像稀疏分解算法等问题函待解决[6]。
（二）研究主要成果
近几年的研究成果表明，过学习获得的字典比解析方法构造的字典在图像去噪、图像修复、图像超分辨率等方面有更出色的性能[7]。 近些年，以设计通用性强、简单、高效的字典学习算法为目标的字典学习方法迅猛发展， 基于综合模型的约束字典、在线字典、结构字典等在数据或字典结构上添加约束提升了字典学习的效率。字典学习模型也不再局限于综合稀疏模型， 解析模型、盲字典模型、信息复杂度模型等在分析问题的角度、“简单性”度量等方面拓展了综合稀疏模型， 使得字典学习模型更加多元化[8]。国外研究人士Aharon等人提出了K-SVD算法(K-Singular Value Decomposition，K-SVD)是目前最具有代表性、应用领域最广的自适应学习字典算法，Elad等人在此基础之上又提出了对图像稀疏表示进行去噪模型和算法的设计，但对于几何正则性的图像，不仅不能够自适应地追踪到图像的几何结构特征的变化方向，还不能够充分利用图像内容的几何正则性先验信息来稀疏表示图像从而达到更好的抑制噪声的效果。随后，Mallat最早提出了图像的超完备信号稀疏表示理论，使用Gabor字典来进行图像的稀疏表示，其中他提出的匹配追踪算法(Matching Pursuit，MP )应用于图像稀疏分解算法比较经典[9]。
基于新型模型的字典学习方法丰富了字典学习理论，扩充了应用范围[10]。通过学习获得的字典比解析方法构造的字典在图像去噪、图像修复、图像超分辨率等方面有更出色的性能[11]。针对彩色图像在去噪时易产生模糊现象和伪色彩的问题，提出多信息结合字典算法。首先提出了基于RGB间各通道模值的加权梯度定义，并在此基础上建立了由彩色图像的亮度、加权梯度、颜色信息结合的一种过完备结构字典。其次利用噪声图像的稀疏性，通过不断更新迭代的字典训练过程，找到最优稀疏系数和最优学习字典，从而将噪声信息和图像有用信息分离开，精确重构图像并单求其颜色，进而得到去噪后的彩色图像[12]。
近些年，以设计通用性强、简单、高效的字典学习算法为目标的字典学习方法迅猛发展，基于综合模型的约束字典、在线字典、结构字典等在数据或字典结构上添加约束提升了字典学习的效率[13]。字典学习模型也不再局限于综合稀疏模型，解析模型、盲字典模型、信息复杂度模型等在分析问题的角度、“简单性” 度量等方面拓展了综合稀疏模型，使得字典学习模型更加多元化。基于新型模型的字 典学习方法丰富了字典学习理论，扩充了应用范围[14]。
