可测函数列及其收敛性
——几乎处处收敛性、近一致收敛性与依测度收敛性之间的关系
摘要：可测函数列关于近一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等情况之间在一定前提条件下的关系研究的比较全面，许多学者不仅得出关系，给出证明，还举了反例，更好地刻画三者之间的关系，而强收敛、弱收敛、平均收敛和完全收敛等涉及的就比较少.文中还表明了自己的一些见解以及论文研究的主要内容:完善三种收敛性的关系图，并寻找例子来说明.
关键词：几乎处处收敛；依测度收敛；近一致收敛；测度描述
可测函数是从测度观点来研究函数时所必然要考虑的一类函数. 它不仅包含大家熟悉的连续函数作为特例，还包括很多不连续的但依旧很常用的函数，比如狄利克雷函数. 同时，可测函数又在应用上和理论上具有足够的广泛性.
而收敛问题是函数性质的重要组成部分，明确各种收敛性之间的相互关系，可以更加深刻地理解函数的特性. 所以，可测函数列的收敛性问题受到了人们的高度关注[1-18].. 可测函数列的收敛性有很多种，如几乎处处收敛、依测度收敛、依概率收敛、完全收敛、一致收敛、几乎一致收敛、近一致收敛、平均收敛、强收敛和弱收敛等等.
林谦，李学文[10]对完全收敛、完全测度收敛与其他收敛的一些关系进行讨论，由此得到一些结论. 杨明顺[11]指出：强收敛一定度量收敛，反之不真；强收敛与几乎处处收敛、几乎处处收敛与度量收敛之间在存在性方面没有必然的联系. 并给出几乎处处收敛不一定强收敛的例子，强收敛不一定几乎处处收敛的例子，度量收敛不一定强收敛的例子，几乎处处收敛不一定度量收敛的例子，度量收敛不一定强收敛的例子，因此，非常全面地表述了这几种收敛之间的关系. 刘文菡，刘晓辉[12]认为依测度收敛是一种特殊的收敛，在实际中应用较为广泛，她讨论了依测度收敛在概率论中的相关定义——依概率收敛，以及贝努里定理的内容及其应用.
在可测函数列的各种收敛性问题中，使用最为广泛的就是可测函数列的几乎处处收敛性、近一致收敛性和依测度收敛性这三种. 三种收敛性之间的一些关系已经由几个非常著名的定理所描述. Egoroff定理描述的就是几乎处处收敛与近一致收敛间的关系：在有限可测集上，几乎处处收敛一定近一致收敛. Lebesgue定理刻画的是几乎处处收敛和依测度收敛之间的关系：在有限可测集上，几乎处处收敛一定依测度收敛. 还有一个著名的定理就是Riesz 定理. 该定理讲述的是依测度收敛的函数列与其子列收敛性之间的关系：依测度收敛的函数列必存在几乎处处收敛的子列. 根据这个定理，不难让人提出疑惑：对这个依测度收敛的函数列有怎样的限制，才能保证这个函数列是几乎处处收敛的？张玲[15]在她的文中表示：若加上条件“几乎处处单调增加”，则由依测度收敛于, 可以得出结论几乎处处收敛于.
