概率论在数学问题上的应用
摘要 通过概率论的思想来解决其他数学领域中德问题:包括证明不等式,求极限,级数求和以及求解积分等.利用方差非负性,Jenson引理证明不等式;利用林德贝格—列维中心极限定理求极限;利用离散型随机变量的概率函数的性质级数求和;利用正态分布的性质求解积分.
关键词 不等式 极限 级数 积分
一、国内外发展的历史及现状
数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学间题,是衡量数学素质和数学能力的重要标志.概率是新教材中新增的内容淇中蕴涵了许多重要的数学思想,在概率教学中注重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义.
世界上的任何事物都存在着作用与反作用,数学这门学科也不例外.初等代数,数学分析等是概率论这门学科赖以生存的,发展的基础.反之,概率论又反作用于数学分析,初等代数等.本文通过对概率论方法在不等式证明,数列求极限,级数求和,广义积分求值中的作用的阐述,说明它们之间的联系.不等式的证明方法很多,技巧也很灵活,可以用初等数学的方法证明,也可以用高等数学的方法证
明,不少问题需要用几种方法综合使用才能解决。概率论作为数学领域中的一个重要分支,与数学各个分支之间有着广泛的联系,通过不等式探讨它们之间的内在联系具有十分重要的意义。利用概率方法证明不等式的关键是根据不同的数学问题建立相应的随机概率模型,然后利用函数、概率之间的相关性质给出问题的解答。
除了利用一些常用的积分公式和分离变量法对积分求解,还可以利用概率方法.积分的求解是在一个区间或区域中进行,首先要考虑分布已知的连续型随机变量,随机变量的取值应该与积分的区间或区域相对应.然后根据积分的重数来构造维数与之对应的随机变量,如一重积分,构造分布已知的一维连续型随机变量;对于二重积分,需构造分布已知的二维连续型随机变量,以此类推.最后根据连续型随机变量概率密度的规范性及其它性质、定理求解即得.通过构建正态分布模型的到某一特定形式的积分的解.
二、前沿发展情况
