文献综述（或调研报告）：
在过去的十年中，拓扑材料由于拓扑电子态导致其具有稳定的、非常规的表面态和电磁特性，因而引起了人们的广泛关注1,2,3,4。虽然一些理论上预言的拓扑材料已经被实验证实，但是理想的具有应用价值的拓扑材料十分缺乏，已经制约了许多对拓扑性质的实验性探索以及拓扑材料在实际设备中的应用4,5,6。
拓扑电子态是一种整体有序态。它不能用局域序参量描述，只能用全局的拓扑不变量描述，在相变过程中也不会伴随对称性破缺。拓扑电子态可以被分为拓扑绝缘体、拓扑晶体绝缘体和拓扑半金属三大类4,5,6。
拓扑绝缘体受时间反转对称性和Z2不变量的保护，是之后十年拓扑材料整个家族中的第一个成员。现在人们认识到，拓扑不变量是所有拓扑材料的决定性性质，它们可以采取不同的形式，它们的形式只取决于系统的维数和对称性。这些对称性的范围从局域对称性，如时间反转和粒子空穴交换，到空间对称性，如平移、反射、旋转和非简单对称性其中每一个都带来新的独立的拓扑不变量。因此，对给定晶体拓扑的完整描述相当于列出由相应空间群中的所有元素保护的所有不变量。而我们把具有受晶格对称性保护表面态的材料称为拓扑晶体绝缘体7。
与这条研究路线一同发展的是拓扑半金属的相关研究。拓扑半金属的导带和价带有交叉，而且这个交叉点是稳定的，不会被微扰破坏。这是因为拓扑半金属的能带交叉点受到晶格对称性的保护。拓扑半金属的特征是所有能带交叉点的数目和类型。根据能带在费米面处的交叉点在晶格动量空间的分布，拓扑半金属可分为外尔半金属、狄拉克半金属和节线半金属。
但是在2019年2月27日Nature上同时刊登了三篇论文。这三篇论文均在对称性指标理论和拓扑量子化学等理论的基础之上，发展了能够在大规模数据库中搜索拓扑材料的算法。尽管这三篇论文提供的算法在细节上略有差异，但是都得到了一个惊人的结论4,5,6：拓扑材料在自然界中广泛存在，并不是稀缺的物质类型（据其中一篇文章估计现有数据库中四分之一以上的材料是具有拓扑性的，绝对数量数千种4,5,6，具有应用价值的有上百种4）。而且他们将所有尚未被实验发现的潜在拓扑材料整理分类以供人查阅。这样的结果无疑是振奋人心的。有了这些预测数据，寻找拓扑材料的效率将会大幅提高。这是对称性在拓扑电子态分类中十分成功的应用。
在此之前发现的拓扑材料主要归功于研究人员的经验和直觉。拓扑材料的数值预测需要对所有的拓扑不变量进行评估，或者识别所有的拓扑节点，两者都涉及大量计算。对一些拓扑不变量的表达式直接计算是高度复杂的，而且一些不变量甚至没有严密的表达式。这一困难阻碍了人们对拓扑材料进行任何大规模、全面的搜索。
但是2017年提出的对称性指标理论10和拓扑量子化学9为研究者们扫清了障碍。虽然这两种理论出发点不同，但最终殊途同归。这些新方法提供了对材料能带结构的完整描述，简化了对能带拓扑的分析过程。对称性指标理论的思路是在自由电子模型中系统地量化动量空间与实空间中对称约束的不匹配，以此来寻找拓扑材料10。首先作者通过对称性约束并允许能带的加减，使得能带结构可以被一个特殊的阿贝尔群表示。而原子绝缘体的能带结构可以通过实空间中的瓦尼尔函数计算得到，也可以表达为一个群。但是拓扑能带结构不能用局域化的瓦尼尔函数表示。因此将利用瓦尼尔函数计算的结果除去，剩下的就是拓扑的部分。而拓扑量子化学则揭示了费米能级附近的化学轨道和拓扑性质之间的联系9。文中建立完整拓扑能带理论分为两步：第一步是在非磁性空间群中汇总了布里渊区中能带所有可能的连接方式以获得所有符合实际的能带结构；第二步是开发了计算实空间轨道决定电子能带对称性特征方法的工具——基本能带表示（EBR）法。基本能带表示（EBR）对应于局域化瓦尼尔函数得到的最小能带组。通过将EBR与第一步中获得的能带结构表示相比较，就可以确定材料的拓扑类型。从本质上来说，这两种方法都是利用拓扑材料不能用局域化瓦尼尔函数表示这一特性来对数据库中的材料进行筛选。拓扑材料具有这一特性是很容易理解的。局域化的瓦尼尔函数代表着电子被束缚，而拓扑材料的导带和价带间均存在连接，这就说明存在导电性，因此至少有部分电子是不受束缚的，因此与局域化瓦尼尔函数的物理图像矛盾。
在实际搜索拓扑材料的过程中，Nature上的三篇论文使用的方法也是类似的，可以归纳为4,5,6：第一步，筛选合适的材料，将磁性、离子和非化学计量比等不便分析的材料剔除；第二步，利用第一性原理计算得到能带在高对称点处的不可约表示；第三步，应用对称指标理论或拓扑量子化学理论从数据库中筛选出各种拓扑材料。
但是这样的方法也存在着局限性6。主要问题如下：第一，判别材料的整个理论框架是基于这样一个假设，即价电子可以用能带理论的物理图像来描述。然而，这种假设在强电子关联的情况下就不成立了。由于这个原因，我们不能指望结果包括任何理论上提出的强相互作用受对称保护的拓扑状态；第二，第一性原理计算可能引入误差；第三，这些方法只把在某些高度对称点上发现的对称数据作为输入，因此无法检测出远离这些高对称点的能带反转。在物理上这意味着如果在非高对称点之外存在能带交叉，判别程序无法检测到它，因此会导致遗漏。这导致了著名的外尔半金属砷化钽(TaAs)没有在结果中出现；第四，对磁性的判断可能存在偏差，这可能会导致误判；第五，在某些物质中，如溴化铋(Bi4Br4)和锂银锑(Li2AgSb)，费米能级附近能带的排列顺序主要取决于晶格常数或赝势的选择。而这些方法中使用的实验晶格参数是没有弛豫的。但如果材料的带隙非常小，建议用稍微不同的输入参数(如松弛的晶格常数)重新进行计算，看看结果是否稳定。
