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文献综述
在非相对论量子隧道理论中，低能粒子穿透高能势垒的几率永远不会是100%，随着势垒变高变厚，穿越的可能性也随之减小。但根据Klein佯谬，相对论粒子可以很容易地穿透大的静电势垒，在相对论量子隧穿（Klein隧穿）中，对入射粒子具有排斥力的大势垒对空穴具有吸引力，导致势垒内的空穴态和势垒外的粒子态通过粒子空穴对称性连接。量子电动力学的这一预言看似不合常理，但在石墨烯中，Klein隧穿所描述的现象很容易被观察到。文献《alpha;-T3模型中的Klein隧道》便以石墨烯的Klein隧穿为背景做了理论计算。
该文模拟计算的对象不再局限于石墨烯的HCL晶格，而是使HCL的六边形中心包含一个附加原子，并与石墨烯原子进行耦合，即alpha;-T3模型如图所示。alpha;-T3模型的耦合强度在0到1之间随参数alpha;变化，极限情况下包括HCL（alpha;=0）和骰子晶格（alpha;=1）。
以alpha;-T3模型为基础，该文就隧穿问题作了详尽的计算，具体包括：1）选取两种不同的势，即尖锐的势垒和势阶，在参数alpha;取不同值时的传输情况。2）在不同入射角下的传输情况。3）特异地研究极限情况dice（alpha;=1）晶格的Klein隧穿效应，以及入射能量对传输的影响。
具体结果如下：1）垂直于界面入射的电子，结果表明无论电子的入射能量如何，在所考虑的两种界面（势垒、势阶）的alpha;全范围都是完美的透射。2）对于dice晶格的势阶传输，入射能量等于势阶高度的一半时，无论电子入射角如何，势阶都是完全透明的。3）对于E/V0=0.5的势阶传输情况，文中给出了描述从石墨烯的到骰子晶格的传输概率演化的解析公式（作为参数alpha;的函数）。4）对于通过势垒的传输，文中发现随着alpha;的增加，传输增强的总体趋势，且完美透射角与alpha;无关。5）对于跨势阶和势垒的传输，alpha;的插值结果是相当平滑的，这一结果不同于以往一些与物理量alpha;相关联的行为，所以平滑的alpha;插值结果并非预期。6）应用：理解其他类狄拉克材料的模型，比如所讨论的alpha;-T3模型，可能会为电子聚焦和电子光学提供额外的可能性。
具体理论计算时涉及到的具体问题包括：alpha;-T3模型的哈密顿量该如何描述，以及alpha;-T3晶格波函数在势能急剧变化的界面上，其连续所需的alpha;相关匹配条件。
首先是哈密顿量。alpha;-T3模型的低能哈密顿量可以写成六边形布里渊区的一个K点，式中，circ;Hkin是动能，V（x）是势，I是3times;3的单位矩阵。动能部分具体形式如下给出，其中，alpha; = tan ϕ参数化跳跃参数alpha;t。V（x）则是根据所要研究的特定问题来选定，如尖锐的势垒、势阶等。
其次是在势能突变的界面上波函数的匹配条件。方式如下：在一个小的区间上x = [minus;∊, ∊]积分特征值方程Hcirc;Psi; = EPsi;，并令该区间接近于零。将波函数写成一般形式psi;(x) = [psi;A(x),psi;B(x),psi;C(x)],获得如下匹配条件：
但要注意的是，该匹配条件不同于alpha;-T3模型的两种极限情况：伪自旋S=1/2石墨烯（alpha;=0）和伪自旋S=1骰子晶格（alpha;=1）。对于石墨烯，匹配条件只需要二分量波函数的每个分量的连续性。相反，骰子格的匹配条件包括等式（6）所示的那样，波函数的第一个和最后一个分量的和，并且可以通过设置sinϕ=cosϕ=1/radic;2（tanϕ=1）从等式（5）和（6）获得。事实上，等式（5）和（6）是为考虑变量alpha;而作一般化处理的alpha;-T3模型的匹配条件。
使用波动方程-ipart;tPsi;=Hcirc;Psi;和概率守恒方程part;t |Psi;| 2=nabla;j来计算概率流，就会发现，方程（5）和（6）中的边界条件，其物理含义是垂直于势垒的概率电流的守恒。
