中学数学不等式证明的常用策略及其应用
摘要：随着课程改革的不断深入，数学教育越来越重视学生数学学科核心素养的培养，而不等式的证明过程可以帮助学生提高数学抽象、逻辑推理、空间直观和数学运算等能力。且不等式的证明是中学数学教学的重点也是难点，因此，有必要对不等式的证明策略进行归纳总结，以拓宽学生的数学视角与思想，发展学生的数学素质。本文从初中数学教材里不等式的三条基本性质以及高中教材必修五中进一步学习的关于不等式的事实和性质出发，以此为基本依据来研究不等式的证明问题，同时在前人众多不菲成就的基础上，对不等式的证明方法进行再探究，并按照中学生对中学数学内容进行分类的常规思维，从代数与几何两个视角来归纳不等式的证明策略，代数角度总结为特殊数字策略、构造策略、正难则反策略、放缩策略、数学归纳法策略、换元策略等，从几何角度研究不等式的证明则分为构造平面、立体和解析几何三类。此外还要在阐述各种证明策略中，要将方程思想、函数思想、数形结合思想与分类讨论思想深入贯穿其中，并结合相关的实例展示其应用以具体说明，希望可以供读者参考。
关键词：不等式； 证明策略； 代数角度； 几何角度；
一、文献综述
一、不等式证明策略的研究现状
众所周知，在自然界中存在着大量的不等量的关系。不等关系是基本的数学关系，它在数学研究和数学应用中起着重要的作用。而且不等式是中学数学的重要内容之一，然而，不等式的证明既是中学学习的重点，也是难点。无论是求最值，还是确定参变量的取值范围等等，都要用到不等式。因此，研究不等式的证明方法显得非常重要，许多前辈也已经在此领域内取得了非常好的成就，得出了许多证明不等式的方法，可分为一般方法与特殊方法。一般的方法是指在一些特定的条件下，阐述论证过程，揭示内在规律的证明方法，其基本的方法有比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等等。而对于许多结构新颖、风格各异的不等式，用一般的方法难以奏效，再者证明的过程十分繁琐，因此这种不等式证明通常用特殊的证明方法，其主要的方法有构造法、向量法、求导法、换元法。前人的分类方法都是按照思想进行分门别类的，比较抽象，中学生难于理解与应用。本文则在他们的成就基础之上，对各种方法进行了比较直观的、相对全面系统的归纳与总结，从代数与几何两个视角来归纳不等式的证明策略，代数角度总结为特殊数字策略、构造策略、正难则反策略、放缩策略、数学归纳法策略、换元策略等，从几何角度研究不等式的证明则分为构造平面、立体和解析几何三类。
二、证明不等式的依据
纵观前人总结的各种证明不等式的策略，容易发现各种策略的应用都是依据不等式的八条性质展开的：
