中值定理及其应用 文献综述
一、研究背景
微分中值定理是微分学的基本定理之一，研究函数的有力工具。微分中值定理有着明显失误几何意义和运动学意义。人们对微分中值定理的研究，从微分建立知识就开始了。文献[1]中说到了微积分学的简史，其中费马在求极大极小值上的成功，为微积分开辟了道路。1637 年，法国著名数学家费马（Fermat，1601—1665）在《求最大值和最小值的方法》中给出了最初的费马定理。在经过后人根据微积分理论和费马发现的实质的整理后，我们看到了今天的费马定理——设函数在点的某领域内有定义，且在点可导。若点为的极值点，则必有。在许多教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。
1691 年，法国数学家罗尔（Rolle）在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文指出了：“在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。”正好是定理的一个特例。这也是为什么，在一百多年后1834年，德国数学家德罗比什（Drobisch）提出“罗尔定理”这一名称的原因。1846 年，意大利数学家尤斯托.伯拉维提斯将这个定理推广到可微函数，并把此命题命名为罗尔定理。
文献[1]中涉及了中值定理的基本概念。其中，拉格朗日定理是微分中值定理最主要的定理。它是指：“在上连续，在内可导，则存在一点，” 1797 年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明：“函数在和之间连续，的最大值为，最小值为，则必取、之前的一个值。”
对微分中值定理进行系统研究的是法国的数学家柯西（Cauchy），他是数学分析严格化运动的推动者，其三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》及《微分计算教程》以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定理，随后又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理——柯西定理。柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广，它是指：设和在上连续，在上可到，并且，，则至少存在一点，使。
时至今日，人们对中值定理的讨论依然没有停止。根据中国知网的数据显示，相关中值定理的论文数量以平均每年两百篇的数量增长着。
二、研究意义
微积分的出现，大力的推动了数学的进步。费马作为微积分的创立者，在研究极值问题的解决方法时，得出了最初形态的费马定理。从费马定理开始，人们对中值定理的研究经过了漫长的时间，就是在这不断探索、推陈出新的过程中，人们逐渐认识到它们内在的联系和本质，中值定理才有了如今的模样。中值定理作为微积分学的基础，反映了函数与导数之间的联系，在数学上有着广泛的应用。例如，在一些理论分析和定理证明中，中值定理都起到了重要的作用。中值定理作为数学分析的学习内容之一，有着重要的讨论价值。论文将详细地分析并总结中值定理在各方面的应用、证明与推广，以加强和巩固对中值定理的理解和应用。
