高考与竞赛有关不等式证明及其拓展
——对高考及竞赛中不等式的研究
摘要：不等式在高中阶段以及相应的竞赛中具有重要地位，这一点可以在每年的高考卷与竞赛试卷中可以看出。不等式与函数、数列、解析几何、向量运算几乎所有的数学概念有着千丝万缕的关系。本文将从高考和竞赛的角度出发，研究不等式的证明方法以及解题技巧，推广一些高考题，对竞赛进行一些方法总结。最后对高考与竞赛中的不等式证明题的联系进行一个总结。
关键词：不等式； 高考； 竞赛；分析
一、文献综述
不等式在高中数学中占据着很重要的位置，高考题中除了简单的考察一些不等式的性质之外，难题、数列压轴题中也会经常结合不等式进行一个考察，而不等式由于它的方法多样，除了简单的计算之外，不等式的难点就在于有关不等式的一类证明题上。在不等式的证明问题上是一个比较抽象，需要学生建立起不等观念以及一些抽象的不等模型，从而对于证明不等式起到帮助，因此本文从高考题和竞赛题出发，探究不等式中的一些策略，同时对其中的一些高考题做一些推广。
有关于不等式的证明问题，国内外很多的数学研究者都有相应的研究。如安振平老师在《不等式探究》一书中，从一些简单的高考题出发，研究了一些高考题中关于不等式证明问题的证明方法以及推广，罗列了一些常见的不等式证明方法；张蕴老师也提出了关于证明不等式问题的几种方法:例如构造法、分析与综合法、数学归纳法、放缩法、换元法等证不等式；王喜春通过实例说明了不等式证明的4种常用技巧:如放缩的技巧、转换的技巧、化繁为简的技巧、利用辅助函数的技巧等。另外，还有诸如增量法、向量法、定积分法、导数法、向量法、反证法等方法证明不等式。后面的这一类证明方法往往体现在竞赛不等式证明的问题中。张伟平老师则是从中学生对于等价思想上研究了基本不等式的一些使用方法以及技巧去证明或者解不等式。因此可见，国内外对于不等式证明问题长期以来都有着广泛的研究，及时是从最基础的证明方法上去研究，也能够发现各个学术文章中的奇妙之处。
高考与竞赛，看似在难度上有很大的差别，实际上都是遵从课标以及竞赛考纲进行出题。在不等式证明这一块问题上，高考与竞赛中所考察的知识点是完全一样的，只是竞赛中需要证明的步骤以及方法会更加综合一些。数学知识本身具有系统性和联系性，有关不等式的学习，其知识是在初中打下基础的，高中阶段学习不等式知识是对初中不等式学习的完善和提升。因此，在高中继续研究和加深不等式相关知识内容的学习是非常必要的，这符合学生的认知规律和时代的发展要求。
