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1.课题学习与理解 1.1选题背景 目前，不少文献对正项级数敛散性作了更为深入的研究，也有文献提出了正项级数新的敛散性判别法，取得了一些较好的成果。但这些文献都散布于各种期刊，有待归纳整理和推广。这些文献说明，虽然正项级数是数学分析的古典内容，但只要进行认真的分析研究，仍然可以发现更好的判别其敛散性的新方法。对于原有的方法，也可以进一步挖掘它们的潜力，使其发挥更大的作用。数学分析中 , 数项级数是全部级数理论的基础 ,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的, 同时也是十分重要的一种级数.判别正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题。 1.2选题意义
级数的判敛问题是一个古典分析的课题 .各种各样的判敛法大体可分为两类 :一类是比较专用的, 如Bertrand 判别法、Gauss判别法等;另一类是原则上普遍适用的,如 Kummer 判别法、Cauchy 收敛准则等.前一类判别法应用起来比较方便, 但适用范围较窄 ,后一类判别法虽然原则上有很宽的使用范围, 但往往不便，于具体应用.在数学分析中 , 数项级数是全部级数理论基础 ,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的, 同时也是十分重要的一种级数.判别正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题,由此可看出论文课题的意义。 诸多文献中，学者的论述主要集中在针对不同的情况，不同的题目类型的级数，用哪一类判别方法更加简洁方便。 2.1 对正项级数收敛性几类判别方法的相关论述 [10][8]，在其文献里提出由于正项级数收敛性的判断方法较多，学生掌握起来比较困难。因此，文章就正项级数收敛性判别的几种方法作几点简要的说明，帮助学生解决在做题过程中存在的一些问题。正项级数收敛性判别法是高等数学中无穷级数的一个重点和难点。但是，由于正项级数收敛性的判断方法较多，判断正项级数收敛时，学生总是难以选择合适的方法进行判断。因此，文章就正项级数常用的几种收敛性判断方法，做几点说明。 一、正项级数的比较判别法 选择正项级数判别法时，应满足以下条件： 1. 正项级数的通项应该容易放大或容易缩小。 2. 放大或缩小后的通项构成的正项级数应当是常见的调和级数、等比级数或 P-级数，或者该级数的收敛性是比较容易判断的。 3. 放大后的通项构成的正项级数必须为收敛的正项级数，缩小后的通项构成的正项级数必须为发散的级数。 二、正项级数的比较判别法的极限形式 1. 选作用于比较的已知级数一般为等比级数或 P-级数。一般情况下，当正项级数通项中变量 n 位于幂指函数的指数位置时，选择等比级数与之作比较；当正项级数通项中变量 n 的位置出现在幂指函数的底数位置时，选择 P-级数与之作比较。 2. 当正项级数的通项是 n→infin; 时的无穷小量，而其等价无穷小量又容易找到，则可通过等价无穷小量关系找到与之作比较的已知级数。 三、正项级数的比值判别法 一般情况下，当正项级数的通项中含乘积因子 n！或 a n 时，可选择比值判别法。此时，根据比值判别法的判断依据 该极限值会比较容易求解。 [9]，基于Drsquo;Alembert 判别法思想，利用正项级数的基本原理与性质，给出某类正项级数收敛性的判别方法，拓展正项级数收敛性的判别方法 ．在一定范围内，用Drsquo;Alembert判别法进行正项级数的收敛性判别，方法比较简单，计算也容易，但对于如下的正项级数 用Drsquo;Alembert 判别法是不可行的．若采用应用范围更广的拉贝判别法，虽然有效，但是计算过程比较繁琐．文献中针对这类正项级数，引入两个简便而有效的判别方法。 [11]给出比达朗贝尔判别法更精细,但比拉阿伯判别法更简捷的二个新的判别法,利用它们来判别正项级数的敛散性更为有力。在通常的微积分学教程中,判别正项级数的敛散性有许多有效的方法,比如达朗贝尔判别法,拉贝判别法等。为了方便,我们将它叙述于下面 定理1 ( 达朗贝尔 ) U0 =L 当 L1,级数收敛，L1级数发散，L=1不能判别 定理2 ( 拉贝判别法) U0若 =L 当L时收敛， 当L时发散,L =1不能判别 [1][3]，采用较几何级数及p一省毛数收敛更慢的级数作为比较级数,从而得到更加细微的收敛判别法。对 于正项级数的收敛判别法通常是采用几何级数或P一 级 数 作 为比较级数而得到的本文是采用级数 作为比较级数,从而得到更加细微的判别法。 徐晶[8][4],介绍一种判别无穷限反常积分与正项级数敛散性的判别法,利用比较判别法来判别无穷限反常积分与正项级数的敛散性是很方便的。若取
为比较的标准时 ,得到下面的对数判别法,从中我们可以发现, 对数判别法在很多方面较比较判别法更方便。 2.1.6 [6][7], 在一定范围内 , Drsquo;Alembert比值判别法和 Cauchy根值判法使用起来比较方便 ,但对于如下形式的正项级数 这两种判别法在使用上都是不方便的 ,甚至是不可行的. 本文针对这种形式的正项级数 ,提出了一种新的判别法 将正项级数收敛性的 Drsquo;Alembert比值判别法和 Cauchy根值判法的数学思想融合到一起 ,利用正项级数的比较判别法和级数的某些基本性质 ,给出了正项级数收敛性的一种新的判别法 ,暂时称之为 Z-判别法。 [2][12][5]，近年来, 关于正项级数收敛性判别法又有一些新的研究, 其中主要是得到了一些关于收敛性的新判别法以及对有关判别法的强弱进行了讨论.本文建立了正项级数收敛性的又一个新判别法, 它适用判别与级数 敛散速度相当的正项级数的敛散性, 因而新判别法比传统的 Raabe判别法等更为精细.此外, 通过与 Gauss判别法进行比较, 得出了新判别法强于 Gauss判别法的结论,为了改进正项级数理论中原有的敛散判别法,文献给出了如下一种新的比值判别法.双比值判别法:对于正项级数 如果 == 则当时，收敛，当时，发散。此判别法是强于传统的 Alember判别法与Laabe判别法的，文献再给出一个更细致的判别法 , 它以级数 为比较标准，并且是强于 Laabe判别法、双比值判别法与Gauss判别法的。 通过以上论述发现，各个学者对正项级数收敛性判别法都有不同都研究、推广和探索，对普通正项级数有很好的总结，对一些特定的正项级数有新的处理方法让我们对正项级数收敛性方法有更好的掌握。 参考文献 [1]. 李铁烽,正项级数判敛的一种新的比值判别法[ J] , 数学通报, 1990, (1):46-47. [2]. 杨钟玄,一个正项级数命题的另一种证明[J] ,数学通报, 2001, (1):38-39. [3]. 高军,谈谈几种正项级数敛散性判别法的比较[J] ,数学通报, 1994, (3):34-36. [4]. 华东师大数学系, 数学分析[ M] ,北京:高等教育出版社, 2001. [5]. 裴礼文, 数学分析的典型问题与方法[ M] ,北京:高等教育出版社, 1993. [6]. 吴传生, 经济数学--微积分[M], 北京:高等教育出版社，2014. [7]. 江泽坚,吴智泉,周光亚编,数学分析[M],北京:人民教育出版社,1964. [8]徐晶, 一种反常积分与正项级数收敛的判别法[J], 高等数学研究, 2005, 8(3):25-26. [9] 耿青松, 某类正项级数收敛性的判别法[J], 湖北大学学报(自然科学版),2014,36(6): 534-536. [10]邓小宇, 关于正项级数收敛性判别法的几点说明[J], 高教学刊, 2016, 22: 263-264. [11]Erdouml;s P, Feller W, Pollard H., A property of power series with positive coefficients[J], Bull. Amer. Math. Soc, 1949, 55(2): 201-204. [12]Rudin W., Real and complex analysis[M], Tata McGraw-Hill Education, 1987. |
资料编号：[76847]
