外文书籍翻译
A Classical Introduction to Modern Number Theory
(现代数论经典引论 第二版P269-P271）
sect;1 概论
系数为有理整数的多项式方程（1）也可以叫做丢翻图方程。如果这个方程有一个解是整数，然后我们就说是一个整数解。如果（1）是齐次的，然后一个的截然不同的解被叫做非平凡解。方程（1）的由有理数组成的解被叫做有理数解。显然，在齐次的情况下，寻找有理数解等同于寻找整数解。
然而阶层控制的问题有一定程度的困难，解的是否存在与不变量微妙相关，可能复杂的算术（1）是一个复杂的微分几何。
我们开始考虑线性丢翻图方程（2）.在这里是有理整数。整数解的存在取决于能整除m。
如果且，为了构建方程的解，欧几里德算法给出了显式的过程。方程（2）的求解增加一个方法则是m能整除d。对于的时候，继续用归纳法来简单观察。如果（1）有整数解，则对于任意一个基p方程（3）都有解。因此能够找到唯一的基p当方程（3）无解时方程（1）也无解。这个方法可以应用到很多特殊的情况下，从而获得了一个本来不存在的定理。我们运用该类技巧考虑几个例子。
例如，考虑方程（4），如果（4）有解则x是奇数。否则减少模4将意味着3是4的一个二次剩余。把（4）改写成（5）对于形式中的与形式这里的基p区分开，减少方程5模p意味着-1是p的一个二次剩余。但是这与命题5.1.2相矛盾。推论3 ，有用独特性的论证当然是仅仅因为选择了。对于方程（6）中的特解k（见第10章节）这里有许多种不同的有理整数解的结果。感兴趣的读者，应该查阅Mordell[189]，其中指出大量的数组方法被运用到研究方程（6）。顺便说一下，莫德尔和西格尔的深刻的定理说到方程（6）仅有有限个整数解。有理解问题引出了著名的猜想Birch and Swinnerton-Dyer.该猜想将在下一章中给出。
