文献综述
一、研究背景
近年来生命科学迅速发展，与其相关的边缘科学也逐渐被认识和深入研究。数学生物学作为其中之一的边缘学科，也在生态系统研究中发挥了极大的作用。数学生态学作为生物数学的基础分支，主要是利用数学模型来描述生物生存和环境的关系以及生物群体之间的关系，并且利用数学理论方法解释一些生态现象。这些现象往往可以根据动力学的观点来分析，生物学家们利用动力学建模的思想，来建立生态系统中种群之间、种群和环境之间的数学没模型，进而对生态系统中的一些生态问题进行控制。
生物数学模型更多的是应用于微生物种群的连续培养，它主要是应用非线性动力系统来对数学模型进行研究，即恒化器模型。由于微生物发酵的连续培养过程比较复杂，因此对其进行定量分析就显的特别重要。在进行定量分析时，首先需要构造合理的数学模型，然后再运用数学知识并结合数值实验模拟仿真，清楚地了解微生物的生长过程，这对微生物的连续培养将具有重要的指导意义。
由于自然界中没有真正单一种群存在的情况，但是为了更加简便易懂得掌握原理，我们一般先从单种群的情况进行分析研究。在这假设条件下，把其他种群对该种群的影响和自然因素归为模型参数，例如“内禀增长率”、“容纳量”等，同时引入新的因素，如竞争、食物链、变消耗率、时滞等。一般我们把问题简化成两种模型：一是，寿命较长、世代重叠并且数量很大的种群，其数量的变化可以近似的看成一个连续的过程，这种情况的数学模型通常用微分方程或者积分方程来求解。二是，寿命较短，世代不重叠的种群，或者虽然寿命较长世代重叠的种群，但是数量较少时，这时的数学模型通常用差分方程来描述[1]。通过对单一种群的研究，为我们后面分析多种群共存的情况提供了良好的参考模型。
- 研究现状
恒化器实验最早是由Aaion Novick和Leo Szilard在1950年提出的，后来Monod和Novick在前人的基础上介绍了连续培养方法的基本原理。 随后Herbert，Elsworth和Telling[2]研究了具有一种微生物和一种极限营养基的基本模型，得到连续培养通常可预期显示出比间歇法五到十倍的输出。
在之后的研究中，生物学家借助微分方程的定性理论对微生物的连续培养模型进行了研究，取得了大量的研究成果。陈兰荪和陈建根据分析每种微生物对营养基的消耗率并将其取为常数，功能性反应函数的三维竞争模型如下：
通过对其性态进行初步分析，从数学上证明了竞争排斥原理即若多种竞争者依靠同一资源，则只有一种竞争者能生存下来，并且这个物种具有最小的，给定一个物种的参数，其依赖于物种的内禀增长率和Michaelis-Menten常数，也可解释为半饱和常数相对于内禀增长率为小之竞争者赢得竞争[3]，后来Hansen和Hubbell利用恒化试实验证实了这一原理。
一般情况下，选取一个常数作为微生物对营养基的消耗率，但是在真实环境下不这样做，这是因为当营养过于丰富时，微生物对营养基的消耗率就要下降，变为一个与营养基浓度有关的函数，记为，因此在营养基浓度较大时，是的一个非减函数[4]，这一实验最早是由Crooke[5,6]在单种群模型中进行的，在[6]中他将设为一次函数，功能性反应函数取Monod型，从而得出了Hopf分歧存在的条件，同时对周期解的稳定性做出了分析判断。
